By Pierre-Antoine Guihéneuf
Résumé. Ce mémoire porte sur l’étude des propriétés dynamiques génériques
des homéomorphismes conservatifs de variétés compactes. Nous y
présentons les principales recommendations utilisées pour aborder cette question
et mettons l’accent, entre autres, sur l’importance du rôle joué par les permutations
dyadiques ainsi que sur l’utilisation, assez étonnante à première
vue, de l. a. topologie faible et du plongement de l’espace des homéomorphismes
dans celui des automorphismes bi-mesurables.
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2) et la notion d’intersection markovienne, qui permet de rendre la propriété « f m (U ) ∩ V est non vide pour tout m assez grand » ouverte. Notons que la généricité du mélange topologique fort est d’autant plus intéressante que nous montrerons au chapitre 4 que le mélange fort, au sens ergodique, est générique. À notre connaissance, ce résultat n’avait pas été prouvé auparavant. 22. Un homéomorphisme f est dit topologiquement fortement mélangeant si quels que soient les ouverts non vides U et V , il va exister un entier N tel que pour tout m ≥ N , l’intersection f m (U ) ∩ V soit non vide.
5 – Construction de l’homéomorphisme h à la demi distance de x à y, si bien que l’on peut partager D en trois ensembles disjoints (que l’on supposera unions de cubes de la subdivision) dont les frontières sont des sphères épaississables Dx , Dy et D′ , tels que Rx ∪ g p (Rx ) ⊂ Dx , Ry ∪ g q (Ry ) ⊂ Dy , et que Dx et Dy n’aient pas de frontière en commun. Il est évident que Rx et Ry sont eux-mêmes épaississables. Plaçons-nous maintenant dans l’ouvert g −1 (D). Par hypothèse, il contient g p−1 (Rx ) et g q−1 (Ry ), mais pas les itérés précédents de Rx et de Ry .
G q−1 (Ry )) soient disjoints de D. On suppose de plus que chacun de g p (Rx ) et g q (Ry ) est de diamètre inférieur 44 Pierre-Antoine Guihéneuf Rx h(Ry ) Ry h(Rx ) Fig. 5 – Construction de l’homéomorphisme h à la demi distance de x à y, si bien que l’on peut partager D en trois ensembles disjoints (que l’on supposera unions de cubes de la subdivision) dont les frontières sont des sphères épaississables Dx , Dy et D′ , tels que Rx ∪ g p (Rx ) ⊂ Dx , Ry ∪ g q (Ry ) ⊂ Dy , et que Dx et Dy n’aient pas de frontière en commun.
Propriétés dynamiques génériques des homéomorphismes conservatifs by Pierre-Antoine Guihéneuf
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