By A Borel
ISBN-10: 3540031790
ISBN-13: 9783540031796
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Additional resources for Cohomologie des espaces localement compacts d'après J. Leray
Example text
Soient K canonique_fin sans torsion , F,F' , F " des faisceaux sur X. Si la suite de I-homomorphismes 0 - ~ F , - ~ F re@me de la suite (i,j 0 -@ K'o F' --~K o F F ~t --~0 ~)K o F" es t exacte~ il e n e s t de --~0. sont bien entendus d~finis par l~identit~ sur K et a,b respectivement). Tout dTabord la suite O- x(KoF,) ..... x(KoF_) est exacte puisque, v u l e 0 --~xK~F, lemme 3a, elle se ram~ne --~ x K m F "X ~ xKmF" "X -~0 --X qui est exacte d'apr~s l'expo I, Th~or. 1. Cela entralne en particulier que i conserve les supports, donc est injectif; K o F' s'identifie dono ~ un sous-complexe de K o F qui est contenu dans le noyau N de j, puisque la suite exacte pr~c~dente montre que j o i(K o F') est form~ d'~l~ments de supports videso Mais les 2 suites exactes ci-dessus montrent aussi que xN ~ x ( K o F'), d'o~ x(K o F') = xN, et K o F' = N d'apr~s le l e ~ e I de l'exp~ III, appliqu6 ~ l, injection de K o F' dans No Enfin, puisque Jx s x(K o F) --~ x(K o F " ) est surJective, il en est de re@me pour J d'apr~s le leone l' de 1,exp~ III, ce qui termine la d~monstration.
E ~ ~ On conserve les notations ci-dessus et on suppose de plus ~le K et L sont fins ~ supports compacts~ Alors 1Tap~lication naturelle de K' ~ L' s_~ur K' o L' est un Isomarjghisme. 3 de iIExp~ Iio II faut donc d6montrer que seul l'~l~ment nul de Kt ~ LI a un support vide~ Soit h ~ K ' m L' de support vide, et soit (x,y)~ X x Y. e, et les ~apports ~tant ferm6s, il en r~- sulte ltexistence d, un voisinage V x W ~ adherence compacte de (x,y) tel que x y ne rencontre pas S(ui) , ou bien ~ ne rencontre pas pour chaque i, ou bien V X Y IV-ll S(vl).
On dira que F est un faisceau unitaire d'alg~bres si F un ~l~ment neutre u x (pour le produit), et si x est une alg~bre poss6dant ~ u x est une section de F, (ce qui du reste est une consequence des autres axiomes lorsque les fibres n Ion pas de diviseurs de z~ros, m~me d~m. que pour le l e ~ e I)~ II r~sulte des d~fi- nitions que si K est une couverture (cf. Expo Ii), alors K est un faisceau unitaire d' alg~bres. v-8 5. Le complexe K o F. Le th@or&me d'unicit@. Soient K un complexe et F u n S*(~| faisceau sur X.
Cohomologie des espaces localement compacts d'après J. Leray by A Borel
by Charles
4.2