By JERROLD E. MARSDEN
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3. 14. Demuestre que sen (iy) = i senh y, donde, por definición, senh y = ---- 2 Solución. e i(iy) ei(iy) sen (iy) = ---2i _ - = i senh y. 15. Encuentre todos los valores de ¡i_ Solución. 16. Resuelva cos z = 1 , ± 2, . . 1 2· , Solución. Sabemos que z n = ±(7t/ 3 + 27tn), n entero, resuelven la ecuación cos z vamos a mostrar ahora que z n' n = O, ± 1 , . . , son las únicas soluciones; esto es, no = -&- hay soluciones fuera del eje real . /-3)/ 2 = + ± Di /2. Por lo tanto (-} ± Di/2) = ± log ( + + v'3i/2), ya que + + Di/2 y + - f3il2 son recí procos uno del otro .
A) Demuestre que bajo la función z z2, líneas paralelas al eje real son transformadas en parábolas. rz. líneas paralelas al eje real son transfor b) Demuestre que bajo (una rama de) z madas en hipérbolas. tiln . e = Demuestre que las identidades trigonométricas pueden deducirse si se supone que e Hx1 + x2) = e ix' · e ix2. Demuestre que sen z = O si z = k:n, k = O, ± 1 , ± 2 . Demuestre que el seno y el coseno son periódicas con periodo mínimo 21t, esto es, que >-+ >-+ >-+ 27. w, w w • • • w n w 28.
Si z está en K y w está en C, entonces z está en Dk para alguna k, y por ende lz - z kl < Pt- Pero lw - zkl > p(zk) = 2pk . Así que l z - wl > p k > p . 6. • • La distancia entre u n conj unto cerrado C y un conjunto compacto K es mayor que cero. 66 Continuidad uniforme Recuérdese que una función se dice que es continua en un conjunto K si es continua en cada punto de K. Éste es un ejemplo de lo que se llama una propiedad local. Ésta se define en términos del comportamiento de una función en o cerca de cada punto, y puede determinarse para cada punto mirando solamente cerca de éste y no al conjunto en su totalidad.
Análisis básico de variable compleja by JERROLD E. MARSDEN
by George
4.0